میان مسائل مقدار ویژه از عملگر لاپلاس، مسائل مقدار ویژه عملگر هارمونیک دوگانه از موضوعات جالب و مهم هستند، چون این مسائل ریشه در مباحث فیزیک و آنالیز هندسی دارند. مساله کمانش یکی از مهمترین مسائل فیزیک است و مطالعات زیادی توسط محققان در مورد جواب و تخمین مقدار ویژه آن انجام گرفته است. در این مقاله، ابتدا معادله تکامل اولین مقدار ویژه غیر صفر از مساله کمانش روی منیفلدهای ریمانی بسته ( منیفلد ریمانی فشرده و بدون مرز) را در امتداد شار ریچی غیرنرمال و شار ریچی نرمال بدست آورده و با استفاده از آنها ثابت می کنیم که اولین مقدار ویژه غیر صفر و بعضی از کمیت های وابسته به این مقدار ویژه، تحت بعضی از شرایط هندسی، در امتداد شار ریچی یکنوا هستند. سپس روی منیفلدهای خاصی از قبیل منیفلدهای همگن، 3-بعدی، 2-بعدی، رفتار تکاملی این مقدار ویژه را بررسی می کنیم. بویژه در حالت 2-بعدی با توجه به مقدار انحنای اسکالر در امتداد شار ریچی نرمال، کمیت هایی وابسته به اولین مقدار ویژه پیدا می کنیم که تحت شار ریچی نرمال یکنوا هستند. در نهایت هم مثال هایی از قبیل حالت های سولیتون و منیفلدهای اینشتین ارائه می کنیم و تکامل اولین مقدار ویژه مساله کمانش را تحت شار ریچی روی این مثال ها بدست می آوریم.

هنگامی که اینشتین به فکر ارائه نظریه نسبیت عام بر مبنای رفع محدودیت های نسبیت خاص( مخصوصاً ارتباط هندسی فضا و زمان) افتاد، متوجه اولین محدودیت نسبیت خاص در خصوص نادیده گرفتن تغییرات دربازه زمانی شد. چرا که با نسبیت خاص تنها انحنای فضایی مد نظر گرفته می شد. پس برای توضیح ریاضی آن بایستی از محاسبات تانسوری بهره می برد. بدین منظور ترکیبی از تانسور ریچی (که نماد انحنا در فضا – زمان است) و اسکالر ریچی از طریق اتحاد بیانچی بدست آورد که مشتق کواریانت آن صفر می باشد و به تانسور اینشتین معروف است. هدف اصلی این مقاله رده بندی مترهای اینشتین چپ پایا با علامت (2, 2)، روی گروه های لی چهاربعدی است. گروه های لی چهار بعدی مجهز به متر چپ پایا با علامت خنثی، پیش از این به تفصیل مورد بررسی قرار گرفته و رده بندی کاملی از آنها ارائه شده است. اکنون در این پژوهش ساختار اینشتین این گروه ها را مطالعه خواهیم نمود. پس از آن برخی خواص هندسی این فضاها، مانند ریچی تخت بودن مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

روش های کاهش بعد غیرخطی، در دهه اخیر بار دیگر مورد توجه محافل علمی قرار گرفته اند. با تمرکز محققان علم کامپیوتر بر این مساله، در چند سال اخیر مجموعه ای از ابزارها به وجود آمده اند که کاربردهای آنها در داده کاوی، پردازش تصویر، طبقه بندی، تحلیل و نمایاندن دادگان رو به افزایش است. در این میان یادگیری منیفلد ابزاری قدرتمند برای کاهش بعد غیرخطی دادگان است. پارامترهای ذاتی سیستم که عامل اصلی تمایز دادگان از یکدیگرند با استفاده از این ابزار شناسایی شده و کل مجموعه بر روی منیفلدی که بیان کننده ارتباط واقعی پارامترهاست، قرار می گیرد. بدین ترتیب ارتباط بین دادگان در فضایی با بعد کمتر بیان می شود. یکی از کاربردهای موفق این روش ها در تحلیل تصاویر است. با این دیدگاه فرض می شود هر تصویر داده ای در بعد بالا بوده که هر پیکسل یک بعد از فضا را اشغال می کند. در صورتی که این مجموعه تصاویر از شیئی خاص اخذ شده باشند که بر اساس پارامترهای کمی با یکدیگر تفاوت دارند؛ می توان با استفاده از ابزارهای مناسب یادگیری منیفلد، این مجموعه تصاویر را در فضایی با بعد کمتر به گونه ای نگاشت کرد که ارتباط ذاتی پارامترها حفظ شود. در این تحقیق چگونگی به کارگیری این ابزار برای تحلیل مجموعه تصاویر اکوکاردیوگرافی مورد بررسی قرار می گیرد. از آنجا که تصاویر اکوکاردیوگرافی اخذ شده از یک بیمار بر اساس پارامترهای کمی از جمله حرکت تناوبی قلب و نویز متفاوت هستند، با استفاده از الگوریتم مناسب یادگیری منیفلد، مجموعه تصاویر در فضای دوبعدی فرونشانده می شوند و ارتباط بین فریم های متوالی در فضای جدید تعیین می شود. در این تحقیق با استفاده از دو الگوریتم LLE و ISOMAP، پس از نگاشت چند دوره تناوب تصاویر در فضای دوبعدی، تصاویر مشابه در کنار یکدیگر قرار گرفته و رابطه بین تصاویر بر اساس خاصیت تناوبی ضربان قلب نمایان می شود. نتایج حاکی از ضعف الگوریتم ISOMAP و قدرت الگوریتم LLE در حفظ ارتباط واقعی تصاویر اکوکاردیوگرافی در فضای دوبعدی است. در نهایت، کاهش نویز تصاویر به صورت میانگین گیری تصاویر مشابه بر روی منیفلد حاصل از الگوریتم LLE به عنوان یک کاربرد مفید معرفی می شود.

قضیه ی یکنواخت سازی یکی از قضایای مهم در آنالیز مختلط است. از جمله نتایج این قضیه آن است که هر رویه ی ریمانی فشرده متریکی با انحنای گاووسی ثابت می پذیرد. یکی از راه های مدرن اثبات قضیه ی یکنواخت سازی استفاده از شار های هندسی است. پس از کار درخشان پرلمان برای اثبات حدس پوانکاره، برخی نویسندگان اثبات هایی برای این قضیه بر اساس شارهای انحنا ارائه کردند. در یکی از کارهای مهم این حوزه، تیان با استفاده از شار ریچی قضیه ی یکنواخت سازی را ثابت کرد. بعدتر، چن با استفاده از شار کالابی اثبات دیگری از این قضیه را ارائه نمود. برعکس شار ریچی، شار کالابی معادله دیفرانسیلی سهموی از مرتبه چهار است، و کار کردن با چنین معادله های دیفرانسیلی به خاطر برقرار نبودن اصل ماکزیمم دشوار است. حتی اثبات وجود جواب در زمانهای طولانی برای شار کالابی ساده نیست و برای بعدهای بیشتر یا مساوی 2، مساله ای باز است. در یکی از کارهای بسیار مهم سالهای اخیر، چن و چنگ ابزاری بسیار قدرتمند برای کار بر روی معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه 4 ساخته اند. در این مقاله، با استفاده از نتیجه ی یاد شده، اثبات جدیدی برای وجود جواب در زمان طولانی برای شار کالابی روی رویه های فشرده ی ریمانی از گونای مثبت ارائه می کنیم.

بیماری های قلبی یکی از اصلی ترین عوامل به خطر انداختن سلامت و زندگی انسان هستند. از مهم ترین بیماری های قلب، بیماری های مربوط به دریچه های قلب بوده که در طی سال های اخیر روندی افزایشی داشته است. تشخیص و درمان درست و به موقع این بیماری ها، بهبود کیفیت زندگی و افزایش طول عمر افراد را به دنبال دارد. از این رو محققان همواره به دنبال یافتن روش هایی برای بهبود و تسریع روند تشخیص این بیماری بوده اند. تصاویر پزشکی، فعالیت قلب انسان را بررسی و ضبط کرده و از جمله راه های اصلی تشخیص مشکلات قلبی هستند. عموما پردازش این تصاویر پیچیده و زمان بر است، به همین جهت محققان به دنبال پیدا کردن روش هایی برای ساده سازی پردازش این تصاویر هستند. یادگیری منیفلد یکی از روش های کاهش بعد غیرخطی است که الگوریتم های مختلفی داشته و می تواند موجب ساده سازی پردازش تصاویر اکوکاردیوگرافی شود. در این پژوهش با کمک یکی از الگوریتم های یادگیری منیفلد به نام LLE، تصاویر اکوکاردیوگرافی مورد بررسی قرار گرفته و سعی شده است تا با کمک روش یادگیری منیفلد داده های سالم از داده های دارای اختلال دریچه ی میترال شناسایی شده و ویژگی های جدا کننده ی سه گروه پاتولوژی دریجه ی میترال شامل MVP، MS و III-b استخراج شود. نتایج به دست آمده نشان می دهد که بیش از 80% نمونه های گروه طبیعی از نظر ساختار منیفلد الگویی متفاوت با نمونه های دارای اختلال دارند.

ما در این مقاله بعد از تعمیم مفهوم ظرفیت در هندسه فینسلر، پایا بودن آن را تحت نگاشت های همدیس ثابت می کنیم. به عبارت دیگر نشان می دهیم اگر (M,g) یک منیفلد فینسلری غیر فشرده باشد آنگاه ظرفیت هر زیر مجموعه فشرده از M تحت نگاشت های همدیس پایاست. همچنین نشان می دهیم ظرفیت هر زوج از زیر مجموعه های بسته از M تحت نگاشت های همدیس پایاست. سپس چند تابع پایای همدیس را که نوع ریمانی آنها کاربرد زیادی در حل مسائل هندسه همدیسی دارند معرفی می کنیم.

در این تحقیق ابتدا برای منیفلد M، با استفاده از ضرب اسکالر فضای مماسیTm M  که آنرا با gm نشان می دهیم یک متریک لورنتسی را که به صورت g(m)=gm و دارای ویژگی های خاصی است، معرفی می کنیم آنگاه هر گروه لی دارای یک متریک لورنتسی پایای چپ را یک گروه لی لورنتسی می نامیم و سپس تابع مدولی  D را برای یک گروه لی ارایه نموده، گروه لی با 1=D را گروه لی تک مدولی می نامیم و در پی آن جبر لی تک مدولی را تعریف می نماییم و در خاتمه بررسی می کنیم که تحت ایزومورفیسم فقط شش جبر لی تک مدولی لورنتسی سه بعدی مجزا وجود دارد و به معرفی آنها می پردازیم.